666 is the Number of the Beast. But it’s much more than that. After all, it’s a number, so it has mathematical properties (everything has mathematical properties, but it’s a sine-qua-non of numbers). For example, 666 is a palindromic number, reading the same forwards and backwards. And it’s a repdigit, consisting of a single repeated digit. Now try answering this question: how many pebbles are there in this triangle?

•

••

•••

••••

•••••

••••••

•••••••

••••••••

•••••••••

••••••••••

•••••••••••

••••••••••••

•••••••••••••

••••••••••••••

•••••••••••••••

••••••••••••••••

•••••••••••••••••

••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••

`
`

Counting the pebbles one by one would take a long time, but there’s a short-cut. Each line of the triangle after the first is one pebble longer than the previous line. There are 36 lines and therefore 36 pebbles in the final line. So the full number of pebbles = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36. And there’s an easy formula for that sum: (36^2 + 36) / 2 = (1296 + 36) / 2 = 1332 / 2 = 666.

So 666 is the 36th triangular number:

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

1+2+3+4+5+6 = 21

1+2+3+4+5+6+7 = 28

1+2+3+4+5+6+7+8 = 36

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

[...]

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36 = 666

But what’s tri(666), the 666th triangular number? By the formula above, it equals (666^2 + 666) / 2 = (443556 + 666) / 2 = 444222 / 2 = 222111. But recall something else from above: tri(6) = 1+2+3+4+5+6 = 21. Is it a coincidence that tri(6) = 21 and tri(666) = 222111? No, it isn’t:

tri(6) = 21 = (6^2 + 6) / 2 = (36 + 6) / 2 = 42 / 2

tri(66) = 2211 = (66^2 + 66) / 2 = (4356 + 66) / 2 = 4422 / 2

tri(666) = 222111 = (666^2 + 666) / 2 = (443556 + 666) / 2 = 444222 / 2

tri(6666) = 22221111

tri(66666) = 2222211111

tri(666666) = 222222111111

tri(6666666) = 22222221111111

tri(66666666) = 2222222211111111

tri(666666666) = 222222222111111111

tri(6666666666) = 22222222221111111111

tri(66666666666) = 2222222222211111111111

tri(666666666666) = 222222222222111111111111

tri(6666666666666) = 22222222222221111111111111

tri(66666666666666) = 2222222222222211111111111111

tri(666666666666666) = 222222222222222111111111111111

So we’ve looked at tri(36) = 666 and tri(666) = 222111. Let’s go a step further: tri(222111) = 24666759216. So 666 appears again. And the sixiness carries on here:

tri(36) = 666

tri(3366) = 5666661

tri(333666) = 55666666611

tri(33336666) = 555666666666111

tri(3333366666) = 5555666666666661111

tri(333333666666) = 55555666666666666611111

tri(33333336666666) = 555555666666666666666111111

tri(3333333366666666) = 5555555666666666666666661111111

tri(333333333666666666) = 55555555666666666666666666611111111

tri(33333333336666666666) = 555555555666666666666666666666111111111

tri(3333333333366666666666) = 5555555555666666666666666666666661111111111

tri(333333333333666666666666) = 55555555555666666666666666666666666611111111111

tri(33333333333336666666666666) = 555555555555666666666666666666666666666111111111111

tri(3333333333333366666666666666) = 5555555555555666666666666666666666666666661111111111111

tri(333333333333333666666666666666) = 55555555555555666666666666666666666666666666611111111111111